Binär Option Finite Differenz

Optionspreise mit Finite-Differenzen-Methode - Matlab Während des Kurses Quantitative amp Computational Finance in der mathematischen Abteilung bei UCL. Wir wurden gebeten, 4 Arten von Optionen, europäische Call-Option, europäische Put-Option und Binary-Optionen mit der Finite-Differenzen-Methode zu bewerten. Dieser Beitrag beschreibt die Black-Scholes-Gleichung und ihre Randbedingungen, die Finite-Differenzen-Methode und schließlich den Code und die Reihenfolge der Genauigkeit. Für den Matlab-Code in diesem Beitrag habe ich die Java-Pinsel, daher die Kommentare von geändert werden müssen. Ich weiß, Sie würden fragen, warum ich nicht einen Matlab Pinsel in den ersten Platz verwenden, auch ich bin mit dem SyntaxHighlighter und Blick auf diesen Kommentar Hinweis von Autor: die lange Liste von Funktionen (1300) kann der Browser nicht reagieren, wenn Sie diese verwenden Bürste. turnt mich ab. I Black-Scholes-Gleichung Wo Smbox, sigmaVolatility, rmbox, Vmbox Dies ist eine lineare parabolische Gleichung partielle Differentialgleichung. In Bezug auf die Griechen. Kann die Black-Scholes-Gleichung wie folgt geschrieben werden Theta - frac sigma2 S2 Gamma - r S Delta r V Endverstärkung Boundary Conidions Endbedingung ist das Payoff Boundary Bedingungen bei S0 und bei Sinfty European Call Option Black-Scholes aus Lösung geschlossen Die geschlossene Form Lösung für die Black-Scholes-Gleichung für eine europäische Call-Option ist C (S, T) Squad N (d1) - Equad e quad N (d2) und N ist die kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnorm. Mit der Call-Put-Paritätsgleichung CALL-PUT S - e N (-d2) können wir auch die P-Formel P (S, T) - Squad N (-d1) Equad e quad N (-d2) Für Binäroptionen berechnen , Auch Cash-and-nothing genannt, die Call - und Put-Werte: II Finite Difference Methode Die Finite-Differenzen-Methode ist ein numerisches Verfahren zur Approximation der Lösungen von Differentialgleichungen unter Verwendung der finiten Differenzengleichung zur Approximierung von Derivaten. Das Finite-Differenzen-Gitter hat gewöhnlich einen gleichen Zeitschritt, die Zeit zwischen den Knoten ist gleich S-Schritte. Der Zeitschritt ist delta t, und der Assetschritt ist delta S. Somit besteht das Gitter aus Punkten bei den Asset-Werten Sidelta S und den Zeitpunkten t T-k delta t mit 0leq ileq l und 0leq kleq K. I delta S ist unsere Annäherung der Unendlichkeit, in dieser Übung verwenden wir Sinfty 2 cdot Strike Damit können wir den Optionswert an jedem dieser Gitterpunkte als VV (idelta S, T-kdelta t) schreiben, damit das Hochscript die Zeit ist Variable und der Index ist die Asset-Variable. Wir verwenden nun die Schwarz-Scholes-Griechennotation, um Theta, Gamma und Delta anzunähern Approximierendes Theta Daraus folgt, daß wir die Zeitableitung aus unserem Gitter von Werten mit der Rückwärtsdifferenz der Zeit: frac (S, t) approx frac - VO approximieren können (Delta t) Dies ist die Annäherung der Optionen theta. Er verwendet den Optionswert an zwei Punkten des Gitters V (k, i) und V (k1, i). Diese Approximation ist in delta t eine Ordnung, und wir werden später sehen, dass später in den Beispielen. Approximating Delta Die gleiche Idee kann verwendet werden, um die erste Ordnung in S Derivat, das Delta approximieren. Aus einer Taylorreihenerweiterung des Optionswertes um den Punkt Sdelta S, t haben wir V (Sdelta S, t) V (S, t) delta S frac (S, t) frac delta S2 frac (S, t) O Delta S3) In ähnlicher Weise wird V (S-delta S, t) V (S, t) - delta S frac (S, t) frac delta S2 frac (S, t) - O (delta S3) Subtrahieren von dem anderen Durch 2delta S und Umordnen ergibt frac (S, t) frac - VO (delta S2) Approximierendes Gamma Das Gamma einer Option ist die zweite Ableitung der Option gegenüber dem zugrunde liegenden, Die natürliche Approximation ist frac approx frac -2V VO ( Delta S2) Diese Näherung ist auch eine zweite Genauigkeit in Delta S als Näherung der Delta und wird dies auch später zeigen. Die explizite Finite-Diffrence-Methode Berechnung der Griechen unter Verwendung der Rückwärtsdifferenz Jetzt stecken wir unsere bisherige Griechen-Approximation in die Black-Scholes-Gleichung frac - V frac sigma2 (i2delta S2) frac -2V V r idelta S frac - V - r V 0 Umordnen von V alpha V beta V gamma V mit alpha frac sigma2 i2 delta t - frac ir delta t beta 1 - sigma2 i2 delta t - r delta t gamma frac sigma2 i2 delta t frac ir delta t Die endliche Differenzengleichung gilt überall innerhalb der Das nicht an den Grenzen gültig ist. Daher müssen wir die Grenzen definieren, abhängig von der Option, die wir bewerten. (S, t) max (SE, 0) Somit gilt V max (i delta SE, 0) wobei 0leq i leq l die Wahrscheinlichkeit für S sinkt Unter E wird vernachlässigbar, auch kleine Änderungen in S fo beeinflussen nicht den Optionspreis, dann Gammafrac 0 (für die europäische Call-Option) Gammaapproxfrac -2V V 0 Dies ist die obere Grenzbedingung V (alpha - gamma) V (beta 2gamma) V) Schließlich wählen wir für die Stabilitätskriterien delta t leq frac. III Code und Ergebnisse Hier ist die Matlab-Implementierung der Finite-Differenzen-Methode. Wir verwendeten die gleichen festen Parameter i. e Volatilität 0,2, Zinssatz 0,05, Ausübungspreis 100, aktueller Preis ist der diskontierte Wert des Ausübungspreises S100 e. Für jede Art von Option variieren wir den Zeitschritt und den Assetpreis, um zu zeigen, dass das Verfahren erster Ordnung und zweiter Ordnung in Delta t und Delta S wiederum ist. Wir auch defnie die Alpha, Beta und Gamma extern für Klarheit. Der Alphafunktionscode Der Beta-Funktionscode Der Gamma-Funktionscode Wir haben auch die Ergebnisse für die geschlossene Formularlösung für eine europäische Call - und Put-Option und ähnlich für die binären Optionen verboten. Geschlossene Formularlösung für europäische Call-Option Geschlossene Formularlösung für die europäische Put-Option Geschlossene Formularlösung für eine europäische Call-Option (Cash-or-nothing) Geschlossene Formulärlösung für eine europäische Put-Option (Cash-or-nothing) Hier definieren wir den Optionswert Funktion für eine europäische Call - und Put-Option mit jeweiliger Auszahlungsbedingung max (SE, 0) und mad (ES, 0). Wir bemerken, dass der Code ähnlich ist nur die Auszahlung-Funktion kann rückgängig gemacht werden abhängig von der Option Typ i. e Anruf oder ein Put. Option Wert Funktion Binäre Option Wertfunktion In der folgenden Abbildung geben wir die Call Optionswerte mit der expliziten Finite-Differenzen-Methode aus. Im folgenden werden wir zeigen, daß die Finite-Differenzen-Methoden in erster Ordnung und zweiter Ordnung in Delta t und Delta S wiederum durch Auftragen des Fehlers gegen delta t und delta S2 in beiden Kurven wir erwarten, daß sie eine lineare Kurve aufweisen. European Call Option Werte Error Vs. Delta t Europäische Anrufoptionswerte Fehler Vs. Delta S2 Europäische Put-Optionswerte Fehler Vs. Delta t Europäische Put Option Werte Fehler Vs. Delta S2 Angabe des prozentualen Fehlerfehlers gegen die delta t und delta S2 für die europäische Call - und Put-Option für beide Auszahlungsfunktionen kontinuierlich und binär, zeigen wir deutlich, dass der Fehler in delta t und delta S2 linear ist. Je kleiner die Schritte in delta t und delta S2 sind, desto genauer ist die Finite-Differenzen-Methode, aber dies kommt mit einer teuren Rechenzeit. Paul Wilmott stellt quantitative Finanzen, zweite Auflage, von Paul P. WilmottOption ein Preisfindung mit der expliziten Finite-Difference-Methode Dieses Tutorial diskutiert die Besonderheiten der expliziten Finite-Differenzen-Methode, wie es auf Optionspreise angewendet wird. Beispielcode, der die explizite Methode in MATLAB implementiert und zum Preis einer einfachen Option verwendet wird, ist in dem Tutorial Explizite Methode - A MATLAB Implementation enthalten. Das Finite-Difference-Methoden-Tutorial behandelt allgemeine mathematische Konzepte hinter finiten Differenzen-Methoden und sollte vor diesem Tutorium gelesen werden. Alternative Finite-Differenzen-Methoden, nämlich die implizite Methode und die Crank-Nicolson-Methode. Sind in Begleit-Tutorials abgedeckt. Diskretisierung der Black-Scholes-Merton-PDE Für die explizite Methode ist die partielle Differentialgleichung von Black-Scholes-Merton, bei der die Indizes i und j Knoten auf dem Preisregister darstellen. Wenn man diese Approximationen in die PDE einsetzt, ergibt sich die Gleichung 1: Explizite Finite-Differenzen-Gleichungen, wobei Gleichung 2: Explizite endliche Differenzparameter Um zu sehen, warum dies das explizite finite Differenzenschema genannt wird, betrachten wir folgendes Diagramm, Abbildung 1: Explizite endliche Differenz Ein Trinomialbaum Abbildung 1 ist eine bildliche Darstellung von Gleichung 1. Sie zeigen, dass gegebene Werte für fnof i, j1. Fn von i, j und fn von i, j-1 können dann Werte für fn von i-1, j explizit (und leicht) berechnet werden. Im Optionspreismodell zeigt die Gleichung 1 (und damit auch die Abbildung 1), dass mit dem Wert der Option an den Randbedingungen (und am deutlichsten bei Ablauf) alle inneren Punkte des Preisgitters mit einem Rückwärtsinduktionsansatz berechnet werden können Zurückschreiten durch die Zeit. Das heißt, bei der Optionsauszahlung an den Verfallknoten können dann die Preise deltat vor dem Verfall berechnet werden, dann kann aus diesen Preisen der Wert 2deltat vor dem Verfall berechnet und iterativ über die Zeit verarbeitet werden, bis der Optionspreis an den Netzknoten für t0 (d Heute) berechnet werden. Eine Matrixformulierung Die Formulierung für die explizite Methode, die in Gleichung 1 gegeben wird, kann in die Matrixschreibweise geschrieben werden. Gleichung 3: Explizite endliche Differenz in Matrixform Stabilität und Konvergenz Zwei wichtige Fragen, die nach jedem numerischen Algorithmus gestellt werden, sind wenn es stabil und stabil ist Wie schnell es konvergiert (Ein iterativer Algorithmus, der instabil ist, wird zur Berechnung immer größerer Zahlen führen, die irgendwann der Unendlichkeit näher kommen.) Andererseits wird ein stabiler Algorithmus zu einer endlichen Lösung konvergieren Aus den Standardresultaten in der Matrixalgebra ist es bekannt, daß eine Matrixgleichung der in Gleichung 3 angegebenen Form nur dann stabil ist, wenn Gleichung 4: Explizite endliche Differenzen - Stabilitätsbedingung Gleichung 4 zeigt die Unendlich - norm der Matrix - Algebra Matrix A. Heuristisch wird, wenn die Unendlichkeitsnorm von A kleiner als 1 ist, sukzessive Werte von F i in Gleichung 3 kleiner und kleiner, und daher konvergiert der Algorithmus oder ist stabil. (Alternativ, wenn die Unendlich-Norm von A größer als 1 ist, werden sukzessive Werte von F i größer und größer und daher divergieren.) Es kann gezeigt werden, dass für bestimmte Kombinationen von rho. Sigma und Deltat. (Und daher Werte für aj, bj und cj) ist die Unendlichnorm von A größer als 1. Daher kann, wenn die Gittergröße (insbesondere in der Zeitachse) nicht angemessen gewählt wird, das explizite Finite-Differenzen-Verfahren instabil sein und daher nützlich sein Optionspreise. (Vergleiche dies sowohl mit der impliziten als auch mit der Crank-Nicolson-Methode, die beide stabil sind). Die Konvergenzrate des Algorithmus steht in direkter Beziehung zu dem bei der Approximation der partiellen Ableitungen eingeleiteten Trunkierungsfehler. Daher konvergiert das explizite Verfahren mit den Raten von Omicron (deltat) und Omicron (deltaS 2). Dies ist die gleiche Konvergenzrate wie die implizite Methode. Aber langsamer als die Crank-Nicolson-Methode. Pricing American Style-Optionen Die Rückwärts-Induktion-Technik verwendet, um die explizite Methode rückwärts durch die Zeit ist ideal für die Preisgestaltung Optionen, die die Möglichkeit der frühen Ausübung beinhalten. Bei jedem Knoten wird statt des Wertes, der aus Gleichung 1 (oder Gleichung 3) berechnet wird, der Wert mit dem intrinsischen Wert und dem Maximum der beiden, wenn verwendet, d. h. fnof i, j max (berechneter Wert, innerer Wert) verglichen,